为什么我在C中的sin计算代码返回错误的值？
我想根据这个方程使用我自己的函数计算用户输入的正弦：
sin(x) = sum_(i=0)^n (-1)^i * (x^(2 i + 1)/((2 i + 1)!))
我有这段代码，据我所知，我所做的与等式中所写的完全相同：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int faculty(int factor)
{
int result = 1;
if (factor > 0)
{
for (int i = 1; i <= factor; i++)
{
result = result * i;
}
}
else
{
result = 1;
}
return result;
}
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
for (int j = 0; j < n ; j++)
{
double i = (double)j;
double faculty_j = (double)faculty(2*j+1);
my_sin = my_sin + (pow((-1.0), i) * (pow(x, (double)(2.0 * i + 1.0)) / faculty_j));
}
return my_sin;
}
int main()
{
int n = 0;
double x = 0;
printf("x=");
scanf("%lf", &x);
printf("n=");
scanf("%i", &n);
printf("sin(%i)=", (int)x);
printf("%lfn", my_sin(x, n));
return 0;
}
但是，例如当我使用时x = 8，n = 5我得到sin(8)=149了结果。我尝试调试代码一段时间了，但我不知道问题可能出在哪里或如何找出问题所在。
更新代码：
#include <stdio.h>
long int factorial(int factor)
{
long int result = 1;
if (factor > 0)
{
for (int i = 1; i <= factor; i++)
{
result = result * i;
}
}
else
{
result = 1;
}
return result;
}
double my_pow(double a, double b)
{
if (b == 0)
{
return 1;
}
double result = a;
double increment = a;
double i, j;
for (i = 1; i < b; i++)
{
for (j = 1; j < a; j++)
{
result += increment;
}
increment = result;
}
return result;
}
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
for (int j = 0; j < n ; j++)
{
double i = (double)j;
double faculty_j = (double)factorial(2*i+1);
my_sin = my_sin + (my_pow((-1.0), i) * (my_pow(x, 2.0 * i + 1.0) / faculty_j));
}
return my_sin;
}
int main()
{
int n = 0;
double x = 0;
printf("x=");
scanf_s("%lf", &x);
printf("n=");
scanf_s("%i", &n);
printf("sin(%i)=", (int)x);
printf("%lfn", my_sin(x, n));
return 0;
}
回答
这里的问题不一定是你的代码。这只是您对等式的期望。我在 Wolfram Alpha 中测试了 n=5 的泰勒级数，并使用查询从该级数中减去了 sin(x)
(sum (-1)^i * x^(2i+1)/(2i+1)!, i=0 to 5) - sin(x)
查看错误。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sum+%28-1%29%5Ei+*+x%5E%282i%2B1%29%2F%282i%2B1%29%21%2C+i %3D0+to+5%29++-+sin%28x%29
正如您所看到的，当 x 大约为 0 时，该级数的近似值非常好，但是当 x 超过 3 时，误差开始变得巨大，并且增长得非常快。在 x=8 时，错误的大小为 67，这显然是无用的。要获得合理的近似值，您需要使用 n=15 左右。只有五个是很少的。
你在这里应该做的是利用 sin(x) = sin(x + k * 2 * PI) 的事实，其中 k 是一个任意整数。如果 x 是负数，您可以简单地使用 sin(x) = -sin(-x) 的事实。我正在展示一个简单的例子来说明它是如何完成的：
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
double sign = 1.0;
// sin(-x) = -sin(x)
// This does not improve accuracy. It's just to make the rest simpler
if(x<0) {
x=-x;
sign *= -1;
}
// sin(x) = sin(k*2*PI + x)
x -= 2*PI*floor(x/(2*PI));
// Continue as usual
return sign * my_sin;
}
您希望尽可能接近 x=0。为了进一步改进这一点，您可以使用 sin(x) = -sin(x+PI) 的事实，如下所示。
以上足以将所有内容保持在 [0, PI] 区间内，但我们实际上可以通过使用一些更聪明的数学来做得更好。我们可以使用 sin(x) 围绕 x=PI/2 + k*PI 对称的事实。所以 sin(PI/2 -x) = sin(PI/2 + x)。利用它将使您保持在区间 [0, PI/2] 中，当您处于该区间时，n=2 足以使误差低于 0.005。对于 n=5，误差低于 10^-7。您可以在前面的步骤之后添加它：
// sin(x) = -sin(x+PI)
if(x>PI) {
x-=PI;
sign *= -1;
}
// sin(PI/2 -x) = sin(PI/2 + x)
if(x>PI/2)
x = PI - x;
但是，您的代码中有一个错误。请记住，应该包括 j=n 的情况，因此更改
for (int j = 0; j < n ; j++)
到
for (int j = 0; j <= n ; j++)
另一种方法是始终调用函数，并在参数中添加 1。
只是为了清楚起见。请记住，泰勒级数期望x以弧度表示。如果你使用度数，你会得到错误的结果。
为了完整起见，这里是完整的功能以及其他一些不会影响正确性但不会影响性能和可读性的修复：
double my_sin(double x, int n)
{
double ret = 0;
double sign = 1.0;
if(x<0) {
x=-x;
sign *= -1;
}
x -= 2*PI*floor(x/(2*PI));
if(x>PI) {
x-=PI;
sign *= -1;
}
if(x>PI/2)
x = PI - x;
size_t denominator = 1;
double numerator = x;
int s = -1;
for (int j = 0; j <= n ; j++) {
denominator *= 2*j + 1;
s *= -1;
ret += s * numerator / denominator;
numerator *= x*x;
}
return sign*ret;
}
以一定的精度为目标
假设您想要 3 个正确的十进制数字。然后我们可以利用分子增长慢于分母的事实并执行以下操作：
size_t denominator = 1;
double numerator = x;
double term;
int s = -1;
int j = 0;
double tolerance = 0.001;
do {
denominator *= 2*j + 1;
j++;
s *= -1;
term = numerator / denominator;
ret += s * term;
numerator *= x*x;
} while(abs(term) > tolerance);