简而言之，请使用以下表达式：

fmax(la, lb) + log1p(exp(-fabs(lb - la)))

我在其中使用laandlb作为变量存储log(a)和log(b)分别，函数名称来自 C's math.h。大多数其他语言也将具有这些功能，但它们的名称可能不同，例如absandmax代替fabsand fmax。（注意：这些是我将在整个答案中使用的约定。）

说到函数，Mark Dickinson 有一个很好的观点：您可能想检查是否可以访问一个可以直接为您执行此操作的函数。例如，如果您使用 Python 和 NumPy，则可以访问logaddexp，而 SciPy 具有logsumexp.

如果您想了解有关上述内容的来源、如何添加两个以上的数字以及如何减去的更多详细信息，请继续阅读。

更详细

没有像乘法和除法那样简单的规则，但有一个数学恒等式可以提供帮助：
log(a + b) = log(a) + log(1 + b/a)

我们可以稍微玩一下这个身份来获得以下内容：

log(a + b) = log(a) + log(1 + b/a)
           = log(a) + log(1 + exp(log(b) - log(a)))
           = la + log(1 + exp(lb - la))

这里还是有问题。如果la远大于lb，您将1 + 0.000...000something在log. 浮点尾数中没有足够的数字来存储something，所以你只会得到log(1)，lb完全失去。

幸运的是，大多数编程语言在其标准库中都有一个函数来解决这个问题，log1p，它计算 1 加上它的参数的对数。也就是说，log1p(x)返回log(1 + x)但以一种对非常小的x.

所以，现在我们有：

log(a + b) = la + log1p(exp(lb - la))

我们就快到了。还有另一件事需要考虑。通常，您希望la大于lb。它不会总是问题，但有时这会得到你额外的精度。*如果之间的差别lb，并la为真正的大，这将节省您从溢出exp(lb - la)。在最极端的情况下，当lb为负无穷大（即为b0）时，计算有效，但当为时无效la。

有时，您会知道哪个更大，并且您可以将其用作la. 但是当它可能是其中之一时，您可以使用最大值和绝对值来解决它：

log(a + b) = fmax(la, lb) + log1p(exp(-fabs(lb - la)))

集合的总和

如果你需要对两个以上的数字求和，我们可以推导出上述恒等式的扩展版本：

log(a[0] + a[1] + a[2] + ...)
    = log(a[0] * (a[0]/a[0] + a[1]/a[0] + a[2]/a[0] + ...))
    = log(a[0]) + log(a[0]/a[0] + a[1]/a[0] + a[2]/a[0] + ...)
    = la[0] + log(1 + exp(la[1]-la[0]) + exp(la[2]-la[0]) + ...)

我们将要使用与添加两个数字时类似的技巧。这样，我们就能得到最准确的答案，并尽可能避免上溢和下溢。首先，log1p：

log(a[0] + a[1] + a[2] + ...)
    = la[0] + log1p(exp(la[1]-la[0]) + exp(la[2]-la[0]) + ...)

另一个考虑是在log1p. la[0]到目前为止，我用于演示，但是您想使用最好的那个。这与我们la > lb在添加两个数字时想要的所有相同原因。例如，如果la[1]是最大的，你可以这样计算：

log(a[0] + a[1] + a[2] + ...)
    = la[1] + log1p(exp(la[0]-la[1]) + exp(la[2]-la[1]) + ...)

将其放入正确的代码中，它看起来像这样（这是 C，但它应该可以很好地翻译成其他语言）：

double log_sum(double la[], int num_elements)
{
    // Assume index_of_max() finds the maximum element
    // in the array and returns its index
    int idx = index_of_max(la, num_elements);

    double sum_exp = 0;
    for (int i = 0; i < num_elements; i++) {
        if (i == idx) {
            continue;
        }
        sum_exp += exp(la[i] - la[idx]);
    }

    return la[idx] + log1p(sum_exp);
}

计算日志空间的差异

这不是问题的一部分，但因为它可能仍然有用：可以类似地执行对数空间中的减法。基本公式是这样的：

log(a - b) = la + log(1 - exp(lb - la))

请注意，这仍然假设la大于lb，但对于减法，它更为重要。如果la小于lb，则取负数的对数！

与加法类似，这有一个准确性问题，可以通过使用专门的函数来解决，但事实证明有两种方法。一个使用与log1p上面相同的函数，但另一个使用expm1, expm1(x)wherereturns exp(x) - 1。这里有两种方式：

log(a - b) = la + log1p(-exp(lb - la))
log(a - b) = la + log(-expm1(lb - la))

您应该使用哪一个取决于 的值-(lb - la)。当-(lb - la)大于大约 0.693（即log(2)）时，第一个更准确，当它更小时，第二个更准确。有关原因和log(2)来源的更多详细信息，请参阅评估这两种方法的 R 项目中的此注释。

最终结果如下所示：

(lb - la < -0.693) ? la + log1p(-exp(lb - la)) : la + log(-expm1(lb - la))

或以函数形式：

double log_diff(double la, double lb)
{
    if (lb - la < -0.693) {
        return la + log1p(-exp(lb - la));
    } else {
        return la + log(-expm1(lb - la));
    }
}

* 这有一点甜蜜点。当之间的差别la和lb小，答案将是准确的两种方式。当差异太大时，结果将始终等于两者中的较大者，因为浮点数没有足够的精度。但是，当差异恰到好处时，您会在la更大时获得更好的准确性。